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    高中数学类比思想例题_浅议高中数学中的类比思想

    分类:竞聘演讲稿 时间:2019-05-13 本文已影响

      【摘要】只有我们意识到类比的教育教学价值,通过类比的教学方法去展示数学的知识,才能让学生拓展视野,以极大的热情去研究、学习数学,认识到数学世界的和谐统一,才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。
      【关键词】高中数学 类比思想 教学方法
      在考试说明中,数学命题的指导思想要求突出数学基础知识、基本能力、基本思想方法的考查,重视数学基本能力和综合能力的考查,注重数学的应用意识和创新意识的考查。其中,推理论证能力的考查要求是:能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题,运用归纳,类比和演绎进行推理,论证某一数学命题的真假性。因此,在高中数学的教学过程中要加强对推理能力的培养。
      由一个或几个已知判断推出另一未知判断的思维形式,叫作推理。推理有演绎推理和合情推理,其中合情推理分为归纳推理和类比推理。古语云:授人以鱼,只供一饭。授人以渔,则终身受用无穷。学知识,更要学方法。
      1.类比推理定义
      所谓类比推理,是指通过两个(或两类)对象的一些相同(或相似)属性的比较,从而推出它们的某些其它属性也相同(或相似)的一种逻辑方法,其推理形式为:
      类比对象 类比属性
      甲 ABCD
      乙 ABC
      所以,乙对象可能具有属性D
      这是从特殊到特殊的一种推理形式,所推出的结论未必可靠,仅是一种“似真”的结果,带有猜测的性质。尽管发现的结果不一定真实,但它毕竟是一种方法,因为类比联想可以发现新的数学知识,类比可以寻到解决问题的方法和途径,可以培养学生的发散思维,创造思维及合情推理能力。所以,类比推理在数学中虽然不是证明方法,但却是一种重要的数学发现法,是提出假设进行猜想的基础,是各种创造思维形式的基本要素。
      2.类比推理的应用
      2.1 平面几何与立体几何类比。
      平面几何的基本元素是点和直线,而立体几何的基本元素是点、直线和平面。如果我们建立如下对应关系:平面内的点对应到空间中的点或直线,平面内的直线对应到空间中的直线或平面,那么把平面几何某些定理中的点换作直线,或把线换作平面,就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。在讲授新知识的同时,经常联系旧知识,创造条件进行类比,扩展学生的思路,养成学生进行类比推理的习惯。它们之间的元素可按下列对应方法构成类比对象:
      直线平面
      角二面角
      三角形四面体
      平行四边形平行六面体
      矩形长方体
      圆球
      在讲解这部分知识时注意引导学生要充分认识到数学中的类比思想,并引导学生进行类比:
      (1)“在平面直角坐标系中”简记为: (二维) ;“在空间直角坐标系中”简记为: V3(三维)
      ①点的坐标
      V2:P(x,y) , V3:P(x,y,z)
      ②两点间的距离
      V2 :两点:P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)
      P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)2
      V3:两点:P1(x1,y1,z1) ,P2(x2,y2,z2)
      P1P2=(x2-x1)2+(y2-y1)+(z2-z1)2
      ③线段中点坐标 ( 中点也即线段 上到两个端点的距离平方和最小的点)
      V2:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中点 M(x1+x22,y1+y22)
      V3:两点P1(x1,y1,z1) ,P2(x2,y2,z2) 中点 M(x1+x22,y1+y22,z1+z22)
      ④
      ⑤在直角△ABC中,∠C=π2 ,其对应边分别为a,b,c,则c2=a2+b2;
      在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,记△PAB,△PAC,△PBC,△ABC的面积分别为S1,S2,S3,S,则S2=S21+S22+S23 .
      ⑥在直角△ABC中,∠C=π2,则COS2A+COS2B=1;
      在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,记记面PAB,面PAC,面PBC与面ABC所成角分别为α,β,γ ,则COS2 β+COS2β+COS2γ=1.
      ⑦平面向量到空间向量的类比,平面解析几何到立体几何的类比等等。当然不仅是知识体系的类比,也可以包括一些常见的结论,如平面向量中“若OP=λOA+μOB 且λ+μ=1,则P、A、B三点共线”;类比空间向量“若OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1,则P、A、B、C四点共面”。
      通过这样新旧知识的联系来进行类比,既有利于理解、掌握新知识,还能使旧知识得到巩固,同时拓宽视野。
      2.2 等差数列与等比数列类比。
      等差数列与等比数列是高中数学中的重要内容,它们在定义等方面有许多相似之处。因此,在研究二者的问题时,可以用类比的方法研究它们的相关问题。它们之间的元素可按下列对应方法构成类比对象:
      等差数列 等比数列
      定义:an-an-1=d(常数) anan-1=q(常数)
      差  商
      性质:若m+n=p=q,则am+an=ap+aq 若m+n=p=q,则am□an=ap□aq
      和  积
      通项公式an=q1+(n-1)d an=a1?qn-1
      倍数 n-1  幂指数 n-1
      在讲解这部分知识时注意引导学生要充分认识到数学中的类比思想,并引导学生进行类比:
      3.类比推理的误区
      任何物质都有其差异性,用类比推理获得的结论很有可能正是两个对象的差异点而陷入错误,所以类比推理的逻辑根据不充分的,带有或然性,不能作为一种严格的证明方法,即类比推理不能代替证明。

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