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    手机怎么输入n次方符号 [n的常见求解策略'>an的常见求解策略]

    分类:教师 时间:2019-05-18 本文已影响

      【摘 要】数列是高中数学中的重要内容,理论上和实践中均有较高的价值,是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体,等价转化与化归这一数学思想,又能反映学生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,而且数列问题背景新颖,综合性强,能力要求高,思维力度大,内在联系密切,思维方法灵活,本文就几类常见求数列的通项公式的常用方法和策略作一些探求,希望对大家有所启发。
      1. 观察法 观察法就是观察数列特征,找出各项共同的构成规律,横向看各项之间的关系结构,纵向看各项与项数n的内在联系,从而归纳出数列的通向公式,然后利用数学归纳法加以证明即可。
      例1,在数列{an} ,{bn}中a1=2,b1=4 且 an,bn,an+1成等差数列, bn,an+1bn+1成等比数列 (n∈N*)。求 a2,a3,a4及 b2,b3,b4 ,由此猜测{an} ,{bn} 的通向公式,并证明你的结论。
      解:有题设条件得2bn=an +an+1, a2n+1=bnbn+1
      由此得a2=6,a3=12,a4=20 ,b2=9,b3=16,b4=25
      猜测 an=n(n+1),bn=(n+1)2
      用数学归纳法证明:
      (1) 当n=1时,有以上知结论成立;
      (2) 假设n=k时,结论成立;即ak=k(k+1), bk=(k+1)2,那么当n=k+1 时,ak+1 =2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2), bk+1=a2k+1bk=(k+2)
      所以当 n=k+1时,结论也成立,
      由(1)( 2) ,可知 an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立。
      点评:采用数学归纳法证明多是理科教学内容,较为容易,好掌握。
      2. 定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目。
      例2 ,等比数列{an} 的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6,求数列 {an} 的通项公式.。
      解:设数列 {an} 公差为q(q>0)
      由题可列方程组并解出 q=13,a1=13
      故数列 {an} 的通项公式为 an=13n。
      点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。
      3. 公式法 若已知数列的前n 项和Sn 与an 的关系,求数列 {an} 的通项an 可用公式
      an=Sn L L L L n=1
      Sn-Sn-1Ln≥2 求解。
      4. 由递推公式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
      类型1 ,递推公式为an+1=an+f(n) ,其中 f(1)+f(2)+...f(n)的和比较易求 ,通常解法是把原递推公式转化为 an+1-an=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解。
      类型2,递推公式为 an+1=anf(n)
      解法: (1)把原递推公式转化为an+1an =f(n),利用累乘法求解。
      (2)由 an+1=f(n)an和 a1确定的递推数列 {an}的通项可如下求得:
      由已知递推式有 an=f(n-1)an-1,an-1=f(n-2)an-2 ,…,a2=f(1) a1依迭代,记为
      这就是叠(迭)代法的基本模式。
      类型3,递推公式为an+1=p an+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0 )。
      解法:一般采用待定系数法将原递推公式转化为:an+1-t=p( an-t),其中t= q1-p,再利用换元法转化为等比数列求解。
      类型4,递推公式为 f(Sn,an)=0型的。
      类型5,递推公式为an+1= panpan+s(p,q,s,为常数)。
      解法: 利用两边取倒数化归为类型3再求通项公式。
      类型6 ,递推公式为 an+2=pan+1 +q an (p、q均为常数)
      解法: 将原递推公式 an+2=pan+1 +q an ,转化为 an+2-αan+1=β(an+1-αan)并且由α+ β=p
      αβ=-q解出α 、 β因此可以得到数列{an+1-αan}是等比数列。特殊地对于an+2=pan+1+q an (p+q=1) 型的递推公式,我们可以的这样分析:
      ∵ p+q=1
      ∴ p=1-q
      an+2=(1-q)an+1+qan=an+1-q(an+1-an)
      an+2-an+1=-q(an+1-an)
      an+2-an+1an+1-an=-q
      ∴ {an+1-an}是以a2-a1 为首项,公比为 -q的等比数列
      总之,求数列通向公式的方法并不满足以上所述,对于同一问题的求解也不仅是一种方法,只有在平时学习与探究过程中不断地体会与总结,将知识方法学活,方能做到游刃有余。

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