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  • 恋爱退为进的策略 [数学中的“退而求进”的策略]

    分类:工作总结报告 时间:2019-05-18 本文已影响

      常言:“退一步海阔天空”,解决数学问题又何尝不是如此,这“退一步”给思维下了广阔的回旋空间,常常会出现灵感,使问题的思考峰回路转,柳暗花明。本文举例说明解决数学问题中“退而求进”策略的应用。
      1. 退一般为特殊 对于某些复杂的问题,若正面作一般推理往往难以奏效,但若考虑“特殊”情形,比如特殊点、特殊值、特殊图形、特殊式子等则可以轻易得解。
      例1 已知函数f(x) =1ln(x+1)-x;则 y=f(x)的图像(图1)大致为()
      分析:取x=1 ,ln2-2﹤0 ∴排除A
      图1取x=- 12,ln12+12=12-ln2﹤0  ,排除C、D ∴应选B
      例2 设a﹥b﹥c﹥0 ,p= (a+b)2+b2,q= a2+ (b+c)2,s= (a+b)2+c2 则 p,q,s中最小值为(  )
      (A)p   (B) q (C) s (D)都有可能
      分析:可取a=3 ,b=2 , c=1,则 p= 20, q= 18, s= 26 ∴应选(C)。
      2. 退抽象为具体
      例3 定义在区间(-∞,+∞) 上的奇函数f(x) 为增函数,偶函数g(x) 在[0,+∞] 的图象与 f(x) 图象重合,设 a﹥b﹥0 ,给出不等式:
      (1)f(b)-f(-a) ﹥g(a)-g(-b) (2) f(b)-f(-a) ﹤g(a)-g(-b)
      (3)f(a)-f(-b) ﹥g(b)-g(-a) (4) f(a)-f(-b) ﹤g(b)-g(-a)
      其中成立的是( )
      (A)(1)与(4) (B)(2)与(3) (C)(1)与(3) (D)(2)与(4)
      分析:本题若从正面解则较繁,若奇函数和偶函数退为f(x)=x ,g(x)=∣x∣ , 令a=3 ,b=2 ,便可以得解(C)。
      例4 已知椭圆x2a2+y2b2 =1 (a,b,0)长轴为AB,将AB分成2n+1 等份,过这 2n个分点分别做x 轴的垂线与椭圆的上半部分交于p1,p2,p3KKp2n , F为椭圆的左焦点,则∣P1F∣ +∣P2F∣+ ∣P3F∣+KK+∣PnF∣=_________
      分析:可以取n=2 、3、4时,求出和,从而找出规律得出一般结论。
      3. 退整体为局部 有时从问题的整体去思考颇为费解,若退为局部,就很容易找到解决问题的途径。
      例5 是否存在常数a,b,c , , 使得1·22+2·32+3·42K K n·(n+1)=n(n+1)2(an2+bn+c)
      对一切自然数 n都成立?证明你的结论。
      分析:此题为探索题,问题等式要对一切n∈N 这个整体都成立,可将整体N 退为局部,取n∈{1,2,3}来考察a、b、c 是否存在,即可得
      4=16(a+b+c) (n=1)
      22=12(4a+3b+c) (n=2)
      70=9a+3b+c (n=3)
      解得: a=3, b=11, c=10
      代入等式,再用数学归纳法证明。
      4. 退高次为低次
      例6 解方程: (x+8)1999+x1999+2x+8=0
      分析:方程可化为 (x+8)1999+(x+8)=(-x)1999+(-x)
      可令f(x)= (x)1999+x 则有f(x+8)=f(-x) , Q f(x)在R 上是单调增函数, ∴x+8=-x, 即 x=-4。
      从以上例子中可以看出,解决数学问题时应用“退而求进”的策略可化难为易、化繁为简,化抽象为具体。只要我们平时多留意,多积累,定能有丰硕收获。

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