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    三角函数表值查表0-360_常见的三角函数最值问题的求法

    分类:父亲节 时间:2019-05-18 本文已影响

      三角函数是高中数学的主体内容,是高考的重点,也是每年必考的内容之一。而最值是对三角函数知识的综合运用,在三角函数中占有及其重要的位置。本文就常见的一些最值问题进行简单的总结,以期对各位能有所帮助。
      1. 形如y=asina+b (或y=acosa+b )型函数,借助于正余弦函数的有界性求解
      例1,求函数y=3sinx+2 当θ-π2 ≤x≤π2时的最值
      解: θ-π2 ≤x≤π2
      ∴ sinx∈[-1,1]∴y∈[-1,2]
      即函数的最大值为2,最小值为-1
      2. 形如y=asinx+bcosx型问题,通常采用引入辅助角,借助于正余弦函数的有界性和单调性求解
      例2,当 -π2≤x≤π2时,求函数f(x)=sinx+ 3cosx的最大值最小值
      解: 原函数可化为f(x)=2sin(x+π3 )
      θ-π2 ≤x≤π2,∴-π6 ≤x+π3≤5π6
      ∴ -12≤sin(x+ π3)≤1
      ∴当x= π6时f(x)取得最大值2,
      当x= -π6时,f(x)取得最小值-1。
      3. 形如y=asina+bccosa+d 型函数,借助于图像或将其转化为第二种类型求解
      例3,求函数y=sinx-1cosx+2 的值域
      解:原式可化为: 2y+1= 1+y2sin(x+Ф) ∴ sin(x+Ф)=2y+1 1+y2∈[-1,1] ∴y∈[-43,1]
      另解:本题还可以设点A(cosx,sinx)B(-2,1),其中点A的轨迹是以(0,0)为圆心,1为半径的圆,可转化为点B与圆上点连线的斜率问题,避开解含绝对值的不等式。
      4. 同时含有sinx+cosx与sinxcos x型,此类题型借助于sin2a+cos2a=1将二者联系起来,采用换元的方法解题,但一定要应注意所换参数的取值范围
      例4,求函数y=sin2x+sinx+cosx 的最值
      解:令t=sinx+cosx∈[-2,2],则sin2x= t2-1
      原式= t2+t-1 t∈[-2,2]
      ∴y的最大值为1+2 最小值为 -54
      5. 形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型,此类题含sinx(或cosx)的二次项,可借助二次函数用配方法求出最值
      例5,求函数y=cos2x-3cosx+2的最小值
      解:原式可化为y= (cosx-32)2-14
      对称轴 cosx=32 不属于[-1,1]
      ∴当cosx=1时,y取得最小值0
      容易出现的变式: y=asin2x+bcosx+c或y=acos2x+bsinx+c 型,此类题型较易转化成上例形式,本文不再举例。
      6. 形如y=asin2x+bcos2x+csinxcosx型,此类题各项均为sinx与cosx的二次式,可考虑用倍角公式降幂,然后化归为前面介绍的类型解决。
      例6,函数y=12 cos2x+32sinxcosx+1, 求当函数取得最值时自变量x的集合
      解:原式易化为y =12sin(2x+π6)+54
      ∴当 2x+π6=2kπ+π2即x=kπ+ π6(k∈z)时y取最大值74
      当2x+π6=2kπ-π2 即x=kπ- -π3(k∈z)时y取最小值34
      求三角函数的最值题题型多样,常见的方法除本文提到的几种外,还有判别式法,数形结合法等等,近几年的高考中大都以低中档题型出现。只要我们在自己解题时注意所遇到题目的类型,选对方法,对于三角函数的值域或最值问题,就应该不是问题了。

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