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    电磁场中的对称性运动 带电粒子在磁场中运动对称性

    分类:端午节 时间:2019-05-18 本文已影响

      【关键词】对称性运动;电磁学;发散性思维;灵感  对称法是从对称性的角度研究、处理物理问题的一种思维方法,有时间和空间上的对称。它表明物理规律在某种变换下具有不变的性质。当用普通方法难以解决一些复杂问题时,利用对称法分析解决,往往可以避免复杂的数学演算和推导,出奇制胜,直接抓住问题的实质,从而快速简便地正确解答问题。
      1. 电场中的运动对称性
      【题例1】如ab是半径为R的圆的一条直径,该圆处于匀强电场中,场强为E,在圆周平面内,将一带正电q的小球从a点以相同的动能抛出,抛出方向不同时,小球会经过圆周上不同的点,在这些所有的点中,到达c点时小球的动量最大(如图1)。已知∠cab=30°,若不计重力和空气阻力,试求:
      (1)电场方向与直线ac间的夹角θ?
      (2)若小球在a点时初速度方向与电场方向垂直,则小球恰能落在c点,则初动能为多少?
      【方法与技巧剖析】(1)首先用对称性直接判断电场方向:由题设条件,在圆周平面内,从 a点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球,小球会经过圆周上不同点,且以经c点时小球的动能最大,可知,电场线平行于圆平面,又据动能定理,电场力对到达c点的小球做功最多。
      为Wac=qUac.因此,Uac最大,即c点的电势比圆周上的任何一点都低。
      又因为圆周平面处在匀强电场中,故连Oc,圆周上各点电势关于Oc对称(或作过c点且与圆周相切的线cf,cf是等势线),Oc方向即为电场方向(如图2所示),其与直径ac夹角为θ=∠acO=∠cab=30°。
      (2)小球在匀强电场中做类平抛运动.小球沿ad方向抛出,设其初速度为v0,小球质量为m,在垂直电场方向,有
      ad=v0t, ①
      在沿着电场线方向有
      cd= 12at2=12qEm t2, ②
      由几何关系可得
      ac=2Rcosθ= 3R, ③
      ad = ac·sinθ= 32R, ④
      cd= ac·cosθ=32 R, ⑤
      将③④⑤式代入①②两式并解得
      v0=12qERm
      所以Ek0= 12mv02= 12qER
      【题例2】静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置,其中某部分静电场的分布如图3所示。虚线表示这个静电场在xOy平面内的一簇等势线,等势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称,等势线的电势沿x轴正向增加,且相邻两等势线的电势差相等。一个电子经过P点(其横坐标为-x0 )时,速度与Ox轴平行。适当控制实验条件,使该电子通过电场区域时仅在Ox轴上方运动。在通过电场区域过程中,该电子沿y方向的分速度vy,随位置坐标x变化的示意图是:
      【方法与技巧剖析】由于静电场的电场线与等势线垂直,且沿电场线电势依次降低,由此可判断Ox轴上方区域y轴左侧各点的场强方向斜向左上方,y轴右侧各点的场强方向斜向左下方。电子运动过程中,受到的电场力的水平分力沿x轴正方向,与初速方向相同,因此,电子在x方向上的分运动是加速运动,根据空间对称性,电子从x=-x0 运动到 x=x0过程中,在y轴左侧运动时间比在y轴右侧运动的时间长。电子受到电场力的竖直分力先沿y轴负方向,后沿y轴正方向。因此电子在y方向上的分运动是先向下加速后向下减速,但由于时间的不对称性,减速时间比加速时间短,所以,当x=x0 时,vy 的方向应沿y轴负方向。正确答案为D(如图4)。
      2. 磁场中的运动对称性
      【题例3】如图5所示在一个半径为R的绝缘橡皮圆筒中有一个沿轴向的磁感应强度为B的匀强磁场,一个质量为m,带电量为q的带负电的粒子,在很小的缺口A处垂直磁场沿半径方向射入,带电粒子与圆筒碰撞时无动能损失,要使带电粒子在里面绕行一周后,恰从A处飞出,问入射的初速度的大小应满足什么条件?(重力不计)
      【方法技巧剖析】带电粒子在筒内碰一次从A处飞出是不可能的,因为带电粒子在磁场内不可能是直线运动的.如果带电粒子在圆筒内碰撞两次可以从A处飞出,譬如在B点、C点处两次再从A点飞出,如图6所示,由于带电粒子轨迹弧AB、BC、CA是对称的,当带电粒子在A点的速度是半径方向,则在B点的速度方向也是沿半径方向,同样在C点速度方向也是沿半径方向,最后从A点出来时的速度也沿半径方向出来。
      设∠AOC=2θ,则2θ= 2π3,θ= 13π
      又轨迹半径r=Rtanθ,由于qv0B=m v02r
      ∴v0= Bqrm= BqRtanθm= 3Bqrm
      碰撞次数只要大于两次,均有可能从A处飞出,故v0的一般解为:设碰撞n次后射出,则有
      θ= πn+1 v0=BqRm tanπn+1 (其中n=2,3,4……)
      【题例4】如图7,两个共轴的圆筒形金属电极,外电极接地,其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d,外筒的外半径为r0,在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场,磁感应强度的大小为B,在两极间加上电压,使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+q的粒子,从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发,初速为零,如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S,则两电极之间的电压U应是多少?(不计重力,整个装置在真空中)
      【方法与技巧剖析】设粒子射入磁场区的速度为v,根据能量守恒,有 12mv2=qU ①
      设粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿定律得:
      qBv=mv2R ②
      由对称性可知,要回到S点,粒子从a到d必经过 34圆周,所以半径R必定等于筒的外半径r0,
      即R=r0 ③
      由以上各式解得:U= qr0B22m
      【题例5】如图8所示,在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域。不计重力,不计粒子间的相互影响。下列图9中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中R=mvBq 。哪个图是正确的?

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