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1.已知:△ABC中,∠B=2∠C,AD是高 求证:DC=AB+BD 分析一:用分解法,把DC分成两部分,分别证与AB,BD相等。 可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE,再证EC=AE。 ∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠EAC=∠C 辅助线是在DC上取DE=DB,连结AE。 分析二:用合成法,把AB,BD合成一线段,证它与DC相等。 仍然以高AD为轴,作出DC的对称线段DF。 为便于证明,辅助线用延长DB到F,使BF=AB,连结AF,则可得 ∠ABD=2∠F=2∠C。 例2.已知:△ABC中,两条高AD和BE相交于H,两条边BC和AC的中垂线相交于O,垂足是M,N 求证:AH=2MO, BH=2NO 证明一:(加倍法――作出OM,ON的2倍) 连结并延长CO到G使OG=CO连结AG,BG 则BG∥OM,BG=2MO,AG∥ON,AG=2NO ∴四边形AGBH是平行四边形, ∴AH=BG=2MO,BH=AG=2NO 证明二:(折半法――作出AH,BH的一半) 分别取AH,BH的中点F,G连结FG,MN 则FG=MN= AB,FG∥MN∥AB 又∵OM∥AD, ∴∠OMN=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等) 同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG…… 例3. 已知:在正方形ABCD中,点E在AB上且CE=AD+AE,F是AB的中点 求证:∠DCE=2∠BCF 分析:本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用,如果只想用加倍法或折半法,则脱离题设的条件,难以见效。 我们可将AE(它的等量DG)加在正方形边CD的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD(它的等量AG)加在AE的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。 辅助线如图,证明(略)自己完成 例4.已知:△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于I, 求证:∠BIC=90 + ∠A 证明一:(由左到右) ∠BIC=180 -(∠1+∠2)=180 - (∠ABC+∠ACB) =180 - (∠ABC+∠ACB+∠A)+ ∠A =90 + ∠A 证明二:(左边-右边=0) ∠BIC-(90 + ∠A) =180 - (∠ABC+∠ACB)-90 - ∠A =90 - (∠ABC+∠ACB+∠A)=…… 证明三:(从已知的等式出发,进行恒等变形) ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180 ∴∠A=180 -(∠ABC+∠ACB) ∠A=90 - (∠ABC+∠ACB) 90 + ∠A=180 - (∠ABC+∠ACB),即∠BIC=90 + ∠A 相关热词搜索: |