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  • [2018初三奥数证明题练习题] 二年级奥数练习题100题

    分类:6月工作总结 时间:2018-08-23 本文已影响
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    1.已知:△ABC中,∠B=2∠C,AD是高

    求证:DC=AB+BD

    分析一:用分解法,把DC分成两部分,分别证与AB,BD相等。

    可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE,再证EC=AE。

    ∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠EAC=∠C

    辅助线是在DC上取DE=DB,连结AE。

    分析二:用合成法,把AB,BD合成一线段,证它与DC相等。

    仍然以高AD为轴,作出DC的对称线段DF。

    为便于证明,辅助线用延长DB到F,使BF=AB,连结AF,则可得

    ∠ABD=2∠F=2∠C。

    例2.已知:△ABC中,两条高AD和BE相交于H,两条边BC和AC的中垂线相交于O,垂足是M,N

    求证:AH=2MO, BH=2NO

    证明一:(加倍法――作出OM,ON的2倍)

    连结并延长CO到G使OG=CO连结AG,BG

    则BG∥OM,BG=2MO,AG∥ON,AG=2NO

    ∴四边形AGBH是平行四边形,

    ∴AH=BG=2MO,BH=AG=2NO

    证明二:(折半法――作出AH,BH的一半)

    分别取AH,BH的中点F,G连结FG,MN

    则FG=MN= AB,FG∥MN∥AB

    又∵OM∥AD,

    ∴∠OMN=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等)

    同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……

    例3.  已知:在正方形ABCD中,点E在AB上且CE=AD+AE,F是AB的中点

    求证:∠DCE=2∠BCF

    分析:本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用,如果只想用加倍法或折半法,则脱离题设的条件,难以见效。

    我们可将AE(它的等量DG)加在正方形边CD的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD(它的等量AG)加在AE的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。

    辅助线如图,证明(略)自己完成

    例4.已知:△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于I,

    求证:∠BIC=90 + ∠A

    证明一:(由左到右)

    ∠BIC=180 -(∠1+∠2)=180 - (∠ABC+∠ACB)

    =180 - (∠ABC+∠ACB+∠A)+ ∠A

    =90 + ∠A

    证明二:(左边-右边=0)

    ∠BIC-(90 + ∠A)

    =180 - (∠ABC+∠ACB)-90 - ∠A

    =90 - (∠ABC+∠ACB+∠A)=……

    证明三:(从已知的等式出发,进行恒等变形)

    ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180   ∴∠A=180 -(∠ABC+∠ACB)

    ∠A=90 - (∠ABC+∠ACB)

    90 + ∠A=180 - (∠ABC+∠ACB),即∠BIC=90 + ∠A

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